Химия и Химики | БГУ ХИМФАК

1. Нормальное распределение. Функция Лапласа.
2. Исследование нормальной функции плотности.
3. Равномерное распределение.
4. Показательное распределение.
5. Характеристическая функция случайной величины.  Законы сложения распределений случайных величин.
6. Основные статистические распределения: гамма-распределение.
7. Основные  статистические  распределения:  распределение  хи-квадрат  Пирсона, хи-распределение.
8. Основные статистические распределения: t-распределение Стъюдента.
9. Основные статистические распределения: F-распределение Фишера-Снедекора.
10. Основные статистические распределения: вычисление квантилей и критических точек.
11. Понятие закона больших чисел. Неравенства Маркова и Чебышева.
12. Закон больших чисел в форме Чебышева. Практическое применение.
13. Закон больших чисел в форме Бернулли. Практическое применение.
14. Центральная предельная теорема и ее практическое применение.  Интегральная и локальная теоремы Муавра-Лапласа.
15. Предмет и задачи математической статистики. Выборочный метод. Вероятностная модель выборки.
16. Статистическое  распределение  выборки.  Статистическая  (эмпирическая) функция распределения.
17. Вариационные ряды. Числовые характеристики дискретных и интервальных вариационных рядов.
18. Графическое  изображение  вариационных  рядов:  гистограмма,  полигон  (частот и относительных частот), кумулята, огива.
19. Статистическое оценивание. Точечное оценивание. Свойства оценок.
20. Точечное оценивание. Метод моментов. Метод квантилей.
21. Метод максимального правдоподобия.
22. Построение  доверительных  интервалов  для  математического  ожидания нормально распределенных случайных величин.
23. Построение доверительных  интервалов для  дисперсии  нормально распределенных случайных величин.
24. Проверка статистических гипотез. Общая схема построения статистических критериев.
25. Критерии значимости для параметров нормально распределенных совокупностей.
26. Мощность критерия. Ошибки 1 го и 2го рода. Методы построения оптимальных критериев.
27. Проверка гипотезы об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона.
28. Критерии согласия. Критерий х2 Пирсона.
29. Критерии согласия. ^-критерий Колмогорова. Критерий Смирнова.
30. Задачи регрессионного и корреляционного анализа. Модельное уравнение регрессии.
31. Метод наименьших квадратов (МНК). Связь МНК и ММП. Свойства НК-оценок.
32. Линейная регрессия. Эмпирическая функция регрессии.
33. Линейная регрессия. Выборочный коэффициент корреляции. Свойства и проверка значимости выборочного коэффициента корреляции.
34. Регрессионная модель общего вида.
35. Статистический анализ оценок параметров регрессионных моделей.
36. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными.
37. Линейные и квазилинейные уравнения.
38. Основные дифференциальные уравнения математической физики: математические модели физико-химических процессов.
39. Постановка краевых задач для уравнений математической физики. Корректность задач.
40. Схема метода Фурье.
41. Ряды Фурье.
42. Уравнение теплопроводности. Задачи о диффузии. Решение методом Фурье.
43. Задача Коши для уравнений параболического типа.
44. Смешанные задачи для уравнений параболического типа.
45. Волновые уравнения. Решение методом Фурье.
46. Задача Коши для уравнений гиперболического типа.
47. Смешанные задачи для уравнений гиперболического типа.
48. Уравнения Лапласа и Пуассона. Краевые задачи для стационарных уравнений
49. Система уравнений Максвелла. Уравнение Шрёдингера.
50. Методы Монте-Карло.
51. Численные методы и математическое моделирование химических процессов: методология моделирования.
52. Математическое моделирование химических процессов: детерминированные модели.
53. Математическое моделирование химических процессов: стохастические модели.
54. Метод конечных разностей.
55. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений.
56. Приближенное решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений.
57. Численное интегрирование.
58. Универсальность математических моделей с дифференциальными уравнениями.
59. Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
60. Численное решение краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными.
61. Статистический анализ химических данных на компьютере.

1. Аксиоматический метод.
2. Множества. Действия над множествами. Числа. Числовые множества. Аксиомы Пеано.
3. Комплексные числа в алгебраической, тригонометрической, экспоненциальной формах. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
4. Действия над комплексными числами. Формула Муавра.
5. Основные формулы комбинаторики.
6. Элементы математической логики.
7. Принцип математической индукции.
8. Матрицы. Свойства и действия над матрицами.
9. Ранг матрицы.
10. Определители. Свойства и вычисление определителей. Теорема Лапласа.
11. Теоремы замещения и аннулирования.
12. Обратная матрица: существование, единственность, свойства, вычисление.
13. Алгебраические уравнения n-ой степени. Основная теорема алгебры.
14. Системы линейных алгебраических уравнений. Геометрическая интерпретация решения.
15. Исследование системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
16. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
17. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
18. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы.
19. Задача о сенсорах.
20. Векторы. Действия над векторами. Коллинеарность. Компланарность.
21. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов.
22. Декартовы системы координат. Метод координат.
23. Задача о расчете расстояний в пространственных решетках.
24. Полярная, цилиндрическая, сферическая системы координат.
25. Зависимые и независимые системы векторов.
26. Алгебраические линии 1-го порядка.
27. Общее уравнение линии II-го порядка. Определение типа линии II-го порядка.
28. Эллипс.
29. Гипербола.
30. Парабола.
31. Поверхности I-го порядка. Плоскость.
32. Прямая и плоскость. Нормаль к прямой и плоскости.
33. Поверхности II-го порядка.
34. Поверхности правильных многогранников.
35. Числовые последовательности. Предел последовательности и его свойства.
36. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Раскрытие неопределенно­стей.
37. Монотонные последовательности.
38. Предельный переход в неравенствах.
39. Принцип выбора. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
40. Число е.
41. Определение функции. Основные элементарные функции, элементарные функции.
42. Предел функции. Односторонние и бесконечные пределы.
43. Предел функции. Бесконечно малая и бесконечно большая функция.
44. Непрерывность функции одной переменной. Классификация точек разрыва. Первая и вто­рая теоремы Вейерштрасса.

Читать полностью »

1. Построение определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функций.
2. Свойства определенного интеграла.
3. Классы интегрируемых функций. Абсолютно интегрируемая функция. Кусочно-непрерывная функция.
4. Суммы Дарбу. Понятие площади фигуры.
5. Интегральная теорема о среднем.
6. Теорема Барроу.
7. Формула Ньютона-Лейбница.
8. Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы (по определению).
9. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной.
10. Формула интегрирования по частям определенного интеграла.
11. Несобственные интегралы первого и второго рода: с бесконечным пределом интегрирования, от неограниченных функций. Свойства несобственных интегралов.
12. Приложения определенных интегралов для вычисления длины дуги плоской кривой, площадей, объемов тел.
13. Приложения определенных интегралов для решения задач механики.
14. Приложения определенных интегралов для решения физико-химических задач.
15. Евклидовы пространства. Свойства метрики.
16. Определение функции многих переменных. Сходимость последовательности в и-мерном евклидовом пространстве.
17. Предел и непрерывность функции двух переменных. Свойства пределов функций многих действительных переменных.
18. Обобщение теорем о непрерывности функций Вейерштрасса и Коши для функции многих действительных переменных.
19. Определение дифференцируемой функции двух переменных. Частная производная. Дифференцирование функций двух переменных.
20. Квадратичные формы. Полный дифференциал функции двух переменных.
21. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости в точке.
22. Производная сложной функции двух переменных.
23. Производная обратной функции двух переменных.
24. Экстремум функции двух переменных: необходимое условие, достаточное условие экстремума функции двух переменных.
25. Условный экстремум, его необходимое и достаточное условия, функция Лагранжа.
26. Метод наименьших квадратов (МНК). Аппроксимация функций многих переменных. Выбор базисных функций. Матрица Грама.
27. МНК для степенного базиса. Построение с помощью МНК аппроксимирующей функции двух переменных.
28. Двойной интеграл. Построение, геометрический смысл и свойства двойного интеграла.
29. Вычисление двойных интегралов сведением к повторному интегралу, заменой переменных, якобиан замены переменных.
30. Приложения двойного интеграла в физике и химии.
31. Тройной интеграл. Построение, геометрический смысл и свойства тройного интеграла. Вычисление тройных интегралов сведением к повторному интегралу, заменой переменных, якобиан замены переменных.
32. Приложения тройного интеграла в физике и химии.
33. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Общее решение (общий интеграл) уравнения. Частные решения задач для ОДУ.
34. Задача Коши для ОДУ. Геометрический смысл.
35. Существование и единственность решения задачи Коши для ОДУ первого порядка. Особые решения.
36. ОДУ первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.
37. ОДУ первого порядка. Линейные уравнения.
38. ОДУ первого порядка. Однородные уравнения.
39. ОДУ первого порядка. Уравнения в полных дифференциалах.
40. ОДУ первого порядка. Уравнение Бернулли. <Уравнение Риккати>.
41. Линейные ОДУ и-го порядка. Существование и единственность решения. Особые решения.
42. Некоторые уравнения и-го порядка, допускающие интегрирование; уравнения с правыми частями специального вида.
43. Системы независимых функций. Функциональный определитель Вандермонда.
44. Линейные ОДУ и-го порядка. с постоянными коэффициентами.
45. Общее и частное решения однородных уравнений.
46. Общее и частное решения неоднородных уравнений.
47. ОДУ второго порядка. Задача Коши.
48. ОДУ второго порядка. Задача Штурма-Лиувилля.
49. Метод вариации произвольных постоянных.
50. Задачи физики и химии, приводящие к краевым задачам для ОДУ второго порядка.
51. Системы ОДУ. Методы решений.
52. Решение  химических  задач  с  последавательно-параллельными  и последовательными реакциями к-го порядка.
53. Ряды. Необходимое условие сходимости. Гармонический ряд. Остаток ряда.
54. Знакопостоянные числовые ряды. Необходимое условие сходимости. Ряд Дирихле.
55. Признаки сходимости знакоположительных рядов:  признак (1) сравнения, предельный признак сравнения, признак Д’ Аламбера, признак Коши, интегральный признак.
56. Действия над рядами.
57. Знакопеременные ряды и их сходимость.  Достаточное условие Лейбница. Абсолютно сходящиеся ряды. Условная сходимость.
58. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Мажорирующий ряд. Признак Вейерштрасса.
59. Степенные ряды. Радиус сходимости. Признак Абеля.
60. Действия над степенными рядами.
61. Формула Тейлора (и Маклорена).
62. Ряд Тейлора (и Маклорена). Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена.
63. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям значений функций, интегралов.
64. Применение степенных рядов к решению ОДУ.
65. Криволинейные интегралы первогорода (кри-1). Построение, геометрический смысл, свойства кри-1.
66. Криволинейные  интегралы  второго  рода  (кри-2).  Построение,  геометрический смысл, свойства кри-2.
67. Вычисление кри-1 и кри-2.
68. Приложения криволинейных интегралов.
69. Поверхностные  интегралы  первого  и  второго  рода  (пови-1  и  пови-2). Построение, геометрический смысл и свойства пови-1 и пови-2.
70. Вычисление пови-1 и пови-2. Приложения поверхностных интегралов.
71. Элементы теории поля.  Скалярные и векторные поля. Градиент. Дивергенция. Ротор. Свойства операций первого и второго порядка. Операторы Гамильтона и Лапласа
72. Элементы теории поля. Скалярные и векторные поля. Запись системы уравнений Максвелла в дивергентной форме.
73. Формула Грина-Остроградского.
74. Теорема Стокса.
75. Теорема Гаусса-Остроградского.
76. Элементы теории поля. Запись системы уравнений Максвелла в интегральной форме.
77. История развития и предмет теории вероятностей.
78. Случайные события. Действия над событиями. Полная группа событий.
79. Определение вероятности события. Статистическое определение вероятности. Классическое определение вероятности. Комбинаторный метод решения задач.
80. Геометрическое определение вероятностей.
81. Основные теоремы теории вероятностей для случайных событий. Условная вероятность события. Теорема о независимых событиях. Теоремы умножения. Теоремы сложения.
82. Основные  теоремы  теории  вероятностей  для  случайных  событий.  Формула полной вероятности. Формула Байеса.
83. Случайные величины (с. в.). Функции распределения случайных величин. Свойства функции распределения.
84. Дискретные случайные величины.
85. Непрерывные (абсолютно непрерывные) случайные величины. Плотность распределения вероятностей.
86. Вероятность попадания значений случайных величин в заданный интервал.
87. Функции случайных величин.
88. Совместное  распределение  случайных  величин.  Условная  вероятность. Дискретные двумерные случайные величины.
89. Непрерывные двумерные случайные величины.  Плотность распределения вероятностей двумерных. Условная вероятность. Формулы умножения плотностей.
90. Вероятность попадания значений и-мерных случайных величин в заданный интервал.
91. Числовые характеристики с. в. и их свойства. Характеристики положения: математическое ожидание, мода медиана, квантили, критические точки.
92. Характеристики рассеяния: дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, коэффициент осцилляции.
93. Начальный и центральный моменты к-го порядка.
94. Числовые характеристики и их свойства двухмерных случайных величин.
95. Корреляционный момент двухмерных случайных величин и его свойства.
96. Коэффициент корреляции двухмерных случайных величин и его свойства. <Ковариационная матрица>.

I. Аналитическая геометрия и основы алгебры

1. Аксиоматический метод.
2. Множества. Действия над множествами. Числа. Числовые множества. Аксиомы Пеано.
3. Комплексные числа в алгебраической, тригонометрической, экспоненциальной формах. Геометрическая ин­терпретация комплексных чисел.
4. Действия над комплексными числами. Формула Муавра.
5. Основные формулы комбинаторики.
6. Элементы математической логики.
7. Принцип математической индукции.
8. Матрицы. Свойства и действия над матрицами.
9. Ранг матрицы.
10. Определители. Свойства и вычисление определителей. Теорема Лапласа.
11. Теоремы замещения и аннулирования.
12. Обратная матрица: существование, единственность, свойства, вычисление.
13. Алгебраические уравнения n-ой степени. Основная теорема алгебры.
14. Системы линейных алгебраических уравнений. Геометрическая интерпретация решения.
15. Исследование системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
16. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
17. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
18. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы.
19. Задача о сенсорах.
20. Векторы. Действия над векторами. Коллинеарность. Компланарность.
21. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов.
22. Декартовы системы координат. Метод координат.
23. Задача о расчете расстояний в пространственных решетках.
24. Полярная, цилиндрическая, сферическая системы координат.
25. Зависимые и независимые системы векторов.
26. Алгебраические линии I-го порядка.
27. Общее уравнение линии II-го порядка. Определение типа линии II-го порядка.
28. Эллипс.
29. Гипербола.
30. Парабола.
31. Поверхности I-го порядка. Плоскость.
32. Прямая и плоскость. Нормаль к прямой и плоскости.
33. Поверхности II-го порядка.
34. Поверхности правильных многогранников.

II. Математический анализ

1. Числовые последовательности. Предел последовательности и его свойства.
2. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Раскрытие неопределенностей.
3. Монотонные последовательности.
4. Предельный переход в неравенствах.
5. Принцип выбора. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
6. Число е.
7. Определение функции. Основные элементарные функции, элементарные функции.
8. Предел функции. Односторонние и бесконечные пределы.
9. Предел функции. Бесконечно малая и бесконечно большая функция.
10. Непрерывность функции одной переменной. Классификация точек разрыва. Первая и вторая теоремы Вейер-штрасса.
11. Первый замечательный предел.
12. Второй замечательный предел.
13. Непрерывность сложной функции.

Читать полностью »